Vorlesung

Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen

Inhalt

Viele Prozesse aus Naturwissenschaft und Technik lassen sich druch partielle Differentialgleichungen (PDEs) beschreiben. Als Beispiele seien genannt:

  • Strömungen von Fluiden (z.B. durch die Navier-Stokes-Gleichungen)
  • Temperaturverteilung in Raum und Zeit (z.B. durch die Wärmeleitgleichung)
  • Ausbreitung von elektromagnetischen Feldern (z.B. durch die Maxwell'schen Gleichungen)

Da man PDEs nur in sehr seltenen Fällen "per Hand" lösen kann, ist die numerische Simulation solcher Gleichungen mittlerweile weit fortgeschritten. In der Praxis ist man allerdings nicht nur daran interessiert, derartige Prozesse zu simulieren, sie sollen vor allem optimiert werden. Beispielsweise ist man daran interessiert, 

  • den Strömungswiderstand eines Flugzeugs zu reduzieren
  • einen Raum möglichst gleichmäßig aufzuheizen
  • die elektromagnetische Strahlung technischer Geräte zu minimieren.

Mathematisch gesehen führen diese Aufgaben auf Optimalsteuerprobleme mit partiellen Differentialgleichungen. Ziel der Vorlesung ist die mathematische Analyse solcher Aufgaben und die Entwicklung von Algorithmen zu deren Lösung.
Dazu werden Techniken aus unterschiedlichen Disziplinen der angewandten Mathematik verwendet:

  • Optimierung
  • Funktionalanalysis
  • Theorie und Numerik von PDEs

Die Optimalsteuerung von PDEs ist deshalb ein Querschnittsgebiet. Im Rahmen der Vorlesung werden wir am grundlegenden Beispiel der Poisson-Gleichung kennenlernen, wie diese einzelnen Bausteine der Optimalsteuerung ineinandergreifen. 

Die wesentlichen Fragestellungen bei der Bearbeitung dieser Beispielaufgabe sind:

  • Existenz und Eindeutigkeit optimaler Lösungen
  • Charakterisierung optimaler Lösungen mit Hilfe von notwendigen und hinreichenden Optimalitätsbedingungen
  • Herleitung von Algorithmen auf Basis der Optimalitätsbedingungen

Benötigte Vorkenntnisse

Es wird nicht erwartet, dass die Teilnehmer in allen oben erwähnten Bereichen (Optimierung, Funktionalanalysis, PDEs) fundierte Vorkenntnisse haben. Die benötigten Vorkenntnisse werden im Laufe der Vorlesung in kompakter Form dargestellt. Es ist jedoch ratsam, sich zumindest in einem der drei genannten Bereiche gut auszukennen.

Termine

  • Wöchentlich: Do. 11:40 bis 13:20 im Raum S204/213 (Beginn 16.04.09)
  • Vierzehntägig: Mi. 9:50 bis 11:30 im Raum S103/110 (Beginn 22.04.09)

Sprechzeiten

Mittwochs, 11:40 bis 13:20 in S2 15/223

Übungen

Statt regelmäßiger Übungsaufgaben wurden von zwei Gruppen gängige Optimierungsalgorithmen analysiert und implementiert. Die Ergebnisse sind in den folgenden Handouts bzw. Folien zusammengefasst:

Material zur Übung:

uebung active set (Aufgabenstellung Gruppe 1)

uebung interior point (Aufgabenstellung Gruppe 2)

frame (Matlab-Code für das gesamte Programm)

gridinit (Matlab-Code zur Initialisierung des Rechengitters)

mass (Matlab-Code zur Berechnung der Massenmatrix)

stiffness (Matlab-Code zur Berechnung der Steifigkeitsmatrix)

Active Set Skript (Skript nach R. Griesse zur Aktiven-Mengen-Strategie)

Comparison AS IP (Artikel zum Vergleich von Aktiver-Mengen-Strategie und Innere-Punkt-Verfahren bei gemischten Beschränkungen)

Convergence IP (Artikel zu Innere-Punkt-Verfahren für gemischte Probleme)

Material zur Vorlesung

Vorläufige Version bis einschl. Kap. 6:

Eine kurze Einführung in die Lebesgue-Integration ist unter Steilkurs Integration zu finden.

Literatur

  • F. Tröltzsch, Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen, Vieweg, 2005.
  • M. Hinze, R. Pinnau, M. Ulbrich, S. Ulbrich, Optimization with PDE Constraints, Springer, 2008.
  • Evans, Partial Differential Equations, AMS, 1998.
  • D.G. Luenberger, Optimization by Vector Space Methods, Wiley, 1969.
  • H.W. Alt, Lineare Funktionalanalysis, Springer, 1985.
  • M. Ruzicka, Nichtlineare Funktionalanalysis, Springer , 2004.

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